Сопротивление материалов Задачи

19 Задач в теме

27 Решений в теме

0 Подписчиков

О теме Новые Задачи Интересные Задачи Без Решения Интересующиеся

Сопротивление материалов

Активность в теме Сопротивление материалов

Самые активные инженеры в теме Сопротивление материалов

@NICK

Задач 218

Решений 27

Лучшие решения в теме Сопротивление материалов

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки

Создано: @nick 24 декабря 2019 20:42

поставьте оценку:

1 голосов, средний бал: 5.0000

Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки:

Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M

По предложенному в задании описанию вычерчиваем расчетную схему балки. Чтобы построить эпюры необходимо прежде всего определить реакции опор. Левую опору обозначим A, правую - B. В левой опоре возникают реакции вертикальная RA и горизонтальная HA. В правой опоре только вертикальная реакция RB. Для нахождения значений опорных реакций составляем уравнения равновесия. Так как на балку не действуют горизонтальные силы, то горизонтальная реакция в опоре равна нулю. HA=0 Момент силы принято считать положительным, если он вращает балку против часовой стрелки и наоборот - если по часовой стрелке.

Сумма моментов относительно опоры A:

$ ΣM_{A}=0=-M+Pa-q2a2a+R_{B}3a $

Учитывая, что M=qa^2, P=2qa получаем

$ R_{B}=\frac{3qa^{2}}{3a}=qa $

Сумма моментов относительно опоры B:

$ ΣM_{B}=0=-M-P2a+q2aa-R_{A}3a= $

Учитывая, что M=qa^2, P=2qa получаем

$ R_{A}=\frac{-3qa^{2}}{3a}=-qa $

Опорная реакция найдена со знаком минус. Знак минус означает что направление RA противоположно принятому при составлении уравнения равновесия. Исправим это на расчетной схеме.

Проверяем правильность определения опорных реакций, спроецировав все силы на вертикальную ось y:

$ ΣF_{y}=0=-R_{A}+P-q2a+R_{B}=-qa+2qa-2qa+qa $

Далее, разбиваем балку на характерные участки. Границы участков проходят в местах расположения опор, а также точках приложения внешних сил или изменения закона их действия. Нагружение данной балки разбивается на два участка I и II. Поперечная сила, в каком-то сечении балки на каждом участке, равна сумме всех вертикальных сил действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения. Общепринято что: если слева от сечения рассматривается поперечная сила направленная вверх, то она положительна и наоборот если вниз; если справа от сечения рассматривается поперечная сила направленная вниз, то она положительна и наоборот если вверх. Возьмем произвольное сечение балки на участке I и найдем для него значение поперечной силы.

Если рассматривать силы слева от сечения тогда:

$ Q_{л}=-R_{A}=-qa=3×0,425=-1,275 кН $

Если рассматривать силы справа от сечения тогда:

$ Q_{п}=-R_{B}+q2a-P=-qa-2qa+2qa=-qa=-1,275 кН $

Таким образом, значение поперечной силы не зависит от того с какой стороны от сечения рассматривать действующие силы. Построим эпюру поперечных сил на I участке балки. Так как значение поперечной силы не зависит ни от каких переменных, то ее эпюра будет представлять собой горизонтальную прямую, удаленную от нулевой линии на координату -1,275 кН. Возьмем произвольное сечение балки на участке II и найдем для него значение поперечной силы.

Если рассматривать силы слева от сечения тогда:

$ Q_{л}=-R_{A}+P-qz=-qa+2qa-qz=qa-qz=q(a-z) $

Если рассматривать силы справа от сечения тогда:

$ Q_{п}=qz'- R_{B}=qz'-qa=q(z'-a) $

Как видно из уравнений, значение поперечной силы будет зависеть от координат z и z', характеризующих удаление сечения от концов участка. Поэтому, эпюра поперечной силы будет представлять собой наклонную прямую. Для ее построения необходимы две точки. Чтобы их получить рассмотрим сечения на концах участка.

Когда сечение на левом конце участка

$ z=0; Q_{л}=q(a-0)=qa=3×0,425=1,275 кН $

Когда сечение на правом конце участка

$ z'=0; Qп=q(0-a)=-qa=-3×0,425=-1,275 кН $

На эпюре строим горизонтальную прямую для участка I и найденные для участка II точки Qл=1,275 кН, Qп=-1,275 кН и соединяем их прямой линией. Таким образом, эпюра поперечных сил по длине балки построена. Далее, действуя подобным образом, для построения эпюры изгибающих моментов M по длине балки. На каждом участке балки проводим произвольное сечение и составляем уравнение равновесия для левой или правой частей балки. Если нижние слои балки растянуты, то найденный момент положительный, если наоборот - отрицательный. Это правило знаков при нахождении изгибающих моментов в сечениях балки.

Сечение на участке I. Рассматриваем силовые факторы слева от сечения.

$ M_{л}=M-R_{A}z=qa^{2}-qaz=qa(a-z) $

Где z - расстояние от точки приложения усилия до сечения I.

$ z=0; M_{л}=qa(a-0)=qa^{2}=3×0,425^{2}=0,54 кН×м $

$ z=a; M_{л}=qa(a-a)=0 $

Сечение на участке II. Рассматриваем силовые факторы справа от сечения.

$ M_{п}=R_{B}z'-qz'\frac{z'}{2}=qaz'-q\frac{z'^{2}}{2} $

В составленное уравнение равновесия входит переменная z' в квадрате, поэтому необходимы как минимум три точки для построения кривой.

$ z'=0; M_{п}=qa×0-q\frac{0^{2}}{2}=0 $

$ z'=a; M_{п}=qa^{2}-q\frac{a^{2}}{2}=q\frac{a^{2}}{2}=3\frac{0,425^{2}}{2}=0,27 кН×м $

$ z'=2a; M_{п}=2qa^{2}-q\frac{4a^{2}}{2}=2qa^{2}-2qa^{2}=0 $

На эпюре строим точки найденные для участка I точки Mл=qa^2=0,54 кН×м, Mл=0 и наклонную прямую для участка I. И найденные для участка II точки Mп=0, Mп=qa^2/2=0,27 кН×м, Mп=0, соединяем их плавной кривой линией - параболой. Таким образом, эпюра изгибающих моментов по длине балки построена.

Требуется построить эпюру внутренних изгибающих моментов и эпюру внутренней поперечной силы по длине балки. ℓ - длина балки Jx - момент инерции относительно главной центральной оси х E - модуль упругости материала балки EJx - изгибная жесткость Стержневая конструкция, все стержни которой лежат в одной плоскости и в этой же плоскости деформируются, называется плоской конструкцией. Для решения задачи вводим систему координат: оси z, x и y

Построение эпюр Q и M

Указываем на расчетной схеме реакции заделки соответствующие нагружению балки силой: горизонтальную, вертикальную и угловую. Реакции - это силы с которыми опоры действуют на стержень Z_{A} - горизонтальная реакция Y_{A} - вертикальная реакция M_{RA} - угловая реакция (моментная реакция) Находим реакции, составляя уравнения равновесия балки

Первое уравнение - сумма всех сил в проекции на ось Y равна нулю

$ ΣF_{y}=Y_{A}-F=0 $

из него находим вертикальную реакцию в опоре A

$ Y_{A}=F $

Второе уравнение - сумма всех сил в проекции на ось Z равна нулю

$ ΣF_{z}=-Z_{A}=0 $

Из него находим горизонтальную реакцию в опоре A

$ Z_{A}=0 $

Третье уравнение - сумма всех моментов относительно точки A равна нулю

$ ΣM_{A}=-M_{RA}-F ℓ=0 $

Момент силы принято считать положительным, если он вращает балку против часовой стрелки и наоборот - если по часовой стрелке. Учитываем, что плечи реакций Y_{A} и Z_{A} равны нулю.

из него (третьего уравнения) получаем угловую (моментную реакцию) в опоре A

$ M_{RA}=-F ℓ $

Рисуем силовую схему

Построение эпюр Q и M

Четвертое (проверочное) уравнение - сумма всех моментов относительно точки B равна нулю

$ ΣM_{B}=-F ℓ+F ℓ=0 $

Далее разбиваем стержень на участки. Границами участка служат изменение сечения балки и точки приложения силовых факторов. Нагрузка приложена к концу балки. Изменения геометрии сечения балки нет. Получаем один участок. Далее на каждом участке вводим локальные системы координат. Оси Z которых направлены вдоль оси балки к центру участка. Следующим шагом используем метод определения внутренних силовых факторов. Мысленно разрезаем балку, отбрасываем левую часть

Построение эпюр Q и M

Заменяем действие отброшенной части силовыми факторами - Q_{y1}, M_{x1}. Пока не знаем их величину, но рисуем их в положительных направлениях, согласно установленному правилу знаков. Составляем уравнения равновесия

Сумма всех сил в проекции на ось y_{1} равна нулю

$ ΣF_{y_{1}}=0=Q_{y_{1}}-F $

тогда

$ Q_{y_{1}}=F $

Сумма всех моментов относительно точки K_{1} равна нулю

$ ΣM_{K_{1}}=0=-M_{x_{1}}-Fz_{1} $

тогда

$ M_{x_{1}}=-Fz_{1} $

В точке B

$ z_{1}=0; M_{x_{1}}=-F×0=0 $

В точке A

$ z_{1}=ℓ; M_{x_{1}}=-F ℓ $

Общепринято что: если слева от сечения рассматривается поперечная сила направленная вверх, то она положительна и наоборот если вниз; если справа от сечения рассматривается поперечная сила направленная вниз, то она положительна и наоборот если вверх. Изгибающий момент M_{x_{1}} найден со знаком минус. А это означает, что действительное направление RA противоположно принятому при составлении уравнения равновесия. Исправляем направление RA на расчетной схеме

Построение эпюр Q и M

Правило знаков при нахождении изгибающих моментов в сечениях балки: Если нижние слои балки растянуты, то найденный момент положительный, если наоборот - отрицательный. По полученным расчетам строим эпюры внутренних силовых факторов - эпюр поперечной силы и эпюр моментов

Построение эпюр Q и M

Эпюра поперечной силы Q_{y} выше с нулевой линии. Как видно из уравнения поперечной силы, ее значение не зависит от координаты z, характеризующей удаление сечения от концов участка. Поэтому, эпюра поперечной силы будет представлять собой горизонтальную прямую. Для ее построения необходима одна точка. Чтобы ее получить рассматривается сечение в произвольной точке участка. Как видно из уравнения момента, его значение зависит от координаты z, характеризующей удаление сечения от концов участка. Поэтому, эпюра момента представляет собой наклонную прямую. Для ее построения необходимы две точки. Чтобы их получить рассматриваются сечения на концах участка.

В любом сечении поперечная сила равна

$ Q_{y} = F $

Эпюра моментов M_{x} показывает, что момент действующий на участке не постоянный и отрицательный его величина линейно возрастает от конца балки к ее заделке,

достигая наибольшего значения равного

$ M_{x} = F ℓ $