Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки
Создано:
@nick
24 декабря 2019
16:02
Дана статически определимая балка длиной 3a, опирающаяся левым концом на неподвижную шарнирную опору, а правым - на подвижную шарнирную опору. К балке приложены внешние силы: На левом конце действует изгибающий момент M. На расстоянии a от левой опоры приложена вертикальная сосредоточенная сила P, направленная вверх. На участке длиной 2a от правой опоры приложена вертикальная рассредоточенная сила q направленная вниз. Требуется построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки, если M=qa^2, P=2qa, q=3 кН/м, a=0,425 м. Решения задачиПостроение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки: 
Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M По предложенному в задании описанию вычерчиваем расчетную схему балки. Чтобы построить эпюры необходимо прежде всего определить реакции опор. Левую опору обозначим A, правую - B. В левой опоре возникают реакции вертикальная RA и горизонтальная HA. В правой опоре только вертикальная реакция RB. Для нахождения значений опорных реакций составляем уравнения равновесия. Так как на балку не действуют горизонтальные силы, то горизонтальная реакция в опоре равна нулю. HA=0 Момент силы принято считать положительным, если он вращает балку против часовой стрелки и наоборот - если по часовой стрелке. Сумма моментов относительно опоры A:
$ ΣM_{A}=0=-M+Pa-q2a2a+R_{B}3a $ Учитывая, что M=qa^2, P=2qa получаем
$ R_{B}=\frac{3qa^{2}}{3a}=qa $ Сумма моментов относительно опоры B:
$ ΣM_{B}=0=-M-P2a+q2aa-R_{A}3a= $ Учитывая, что M=qa^2, P=2qa получаем
$ R_{A}=\frac{-3qa^{2}}{3a}=-qa $ Опорная реакция найдена со знаком минус. Знак минус означает что направление RA противоположно принятому при составлении уравнения равновесия. Исправим это на расчетной схеме. Проверяем правильность определения опорных реакций, спроецировав все силы на вертикальную ось y:
$ ΣF_{y}=0=-R_{A}+P-q2a+R_{B}=-qa+2qa-2qa+qa $ Далее, разбиваем балку на характерные участки. Границы участков проходят в местах расположения опор, а также точках приложения внешних сил или изменения закона их действия. Нагружение данной балки разбивается на два участка I и II. Поперечная сила, в каком-то сечении балки на каждом участке, равна сумме всех вертикальных сил действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения. Общепринято что: если слева от сечения рассматривается поперечная сила направленная вверх, то она положительна и наоборот если вниз; если справа от сечения рассматривается поперечная сила направленная вниз, то она положительна и наоборот если вверх. Возьмем произвольное сечение балки на участке I и найдем для него значение поперечной силы. Если рассматривать силы слева от сечения тогда:
$ Q_{л}=-R_{A}=-qa=3×0,425=-1,275 кН $ Если рассматривать силы справа от сечения тогда:
$ Q_{п}=-R_{B}+q2a-P=-qa-2qa+2qa=-qa=-1,275 кН $ Таким образом, значение поперечной силы не зависит от того с какой стороны от сечения рассматривать действующие силы. Построим эпюру поперечных сил на I участке балки. Так как значение поперечной силы не зависит ни от каких переменных, то ее эпюра будет представлять собой горизонтальную прямую, удаленную от нулевой линии на координату -1,275 кН. Возьмем произвольное сечение балки на участке II и найдем для него значение поперечной силы. Если рассматривать силы слева от сечения тогда:
$ Q_{л}=-R_{A}+P-qz=-qa+2qa-qz=qa-qz=q(a-z) $ Если рассматривать силы справа от сечения тогда:
$ Q_{п}=qz'- R_{B}=qz'-qa=q(z'-a) $ Как видно из уравнений, значение поперечной силы будет зависеть от координат z и z', характеризующих удаление сечения от концов участка. Поэтому, эпюра поперечной силы будет представлять собой наклонную прямую. Для ее построения необходимы две точки. Чтобы их получить рассмотрим сечения на концах участка. Когда сечение на левом конце участка
$ z=0; Q_{л}=q(a-0)=qa=3×0,425=1,275 кН $ Когда сечение на правом конце участка
$ z'=0; Qп=q(0-a)=-qa=-3×0,425=-1,275 кН $ На эпюре строим горизонтальную прямую для участка I и найденные для участка II точки Qл=1,275 кН, Qп=-1,275 кН и соединяем их прямой линией. Таким образом, эпюра поперечных сил по длине балки построена. Далее, действуя подобным образом, для построения эпюры изгибающих моментов M по длине балки. На каждом участке балки проводим произвольное сечение и составляем уравнение равновесия для левой или правой частей балки. Если нижние слои балки растянуты, то найденный момент положительный, если наоборот - отрицательный. Это правило знаков при нахождении изгибающих моментов в сечениях балки. Сечение на участке I. Рассматриваем силовые факторы слева от сечения.
$ M_{л}=M-R_{A}z=qa^{2}-qaz=qa(a-z) $ Где z - расстояние от точки приложения усилия до сечения I.
$ z=0; M_{л}=qa(a-0)=qa^{2}=3×0,425^{2}=0,54 кН×м $
$ z=a; M_{л}=qa(a-a)=0 $ Сечение на участке II. Рассматриваем силовые факторы справа от сечения.
$ M_{п}=R_{B}z'-qz'\frac{z'}{2}=qaz'-q\frac{z'^{2}}{2} $ В составленное уравнение равновесия входит переменная z' в квадрате, поэтому необходимы как минимум три точки для построения кривой.
$ z'=0; M_{п}=qa×0-q\frac{0^{2}}{2}=0 $
$ z'=a; M_{п}=qa^{2}-q\frac{a^{2}}{2}=q\frac{a^{2}}{2}=3\frac{0,425^{2}}{2}=0,27 кН×м $
$ z'=2a; M_{п}=2qa^{2}-q\frac{4a^{2}}{2}=2qa^{2}-2qa^{2}=0 $ На эпюре строим точки найденные для участка I точки Mл=qa^2=0,54 кН×м, Mл=0 и наклонную прямую для участка I. И найденные для участка II точки Mп=0, Mп=qa^2/2=0,27 кН×м, Mп=0, соединяем их плавной кривой линией - параболой. Таким образом, эпюра изгибающих моментов по длине балки построена. КомментарииЧтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь |
Записать новую задачу Все задачи Все темы Все инженеры |
Комментарии