Изменение осевых моментов инерции при параллельном переносе осей координат

Допустим в системе координат ...

$ x_{1}O_{1}y_{1} $

имеется плоская фигура ...

$ Ф $

Мы знаем площадь фигуры, ее осевые моменты инерции относительно осей x1 и y1 ...

$ A, J_{x_{1}}, J_{y_{1}} $

Необходимо вычислить осевые моменты инерции относительно осей новой системы координат ...

$ x_{2}O_{2}y_{2} $

если они параллельны осям первоначальной ...

$ x_{2}‖x_{1}, y_{2}‖y_{1} $

Расстояние между осями координат x1 и x2 равно ...

$ b $

между осями координат y1 и y2 равно ...

$ a $

Тогда осевые моменты инерции относительно осей x2 и y2 будут равны ...

$ J_{x_{2}}=\int\from{Ф}y_{2}^{2}dA=\int\from{Ф}(y_{1}+b)^{2}dA= $

$ = \int\from{Ф}(y_{1}^{2}+2by_{1}+b^{2})dA= $

$=\int\from{Ф}y_{1}^{2}dA+2b\int\from{Ф}y_{1}dA+b^{2}\int\from{Ф}dA=J_{x_{1}}+2bS_{x_{1}}+b^{2}A$

$ J_{y_{2}}=\int\from{Ф}x_{2}^{2}dA=\int\from{Ф}(x_{1}+a)^{2}dA= $

$ = \int\from{Ф}(x_{1}^{2}+2ax_{1}+a^{2})dA= $

$=\int\from{Ф}x_{1}^{2}dA+2a\int\from{Ф}x_{1}dA+a^{2}\int\from{Ф}dA=J_{y_{1}}+2aS_{y_{1}}+a^{2}A$

Теорема Штейнера

Когда координатнатные оси x_{1}, y_{1} проходят через центр тяжести С:

$ S_{x_{1}}=0, S_{y_{1}}=0 $

тогда

$ J_{x_{2}}=J_{x_{1}}+b^{2}A $

$ J_{y_{2}}=J_{y_{1}}+a^{2}A $

Из множества параллельных осей та ближе к центру тяжести чей осевой момент инерции имеет наименьшее зачение.

Оцените сложность задачи:

0 голосов, средняя сложность: 0.0000

Решения задачи

поставьте оценку:

0 голосов, средний бал: 0.0000

Изменение осевых моментов инерции при параллельном переносе осей координат