Распределение напряжений по сечению балки при изгибе
Создано:
@nick
5 июля 2019
15:00
Распределение напряжений по сечению балки при изгибе Пусть дана балка нагруженная изгибающим моментом M_{x} 
Распределение напряжений по сечению балки при изгибе Чтобы найти распределение напряжений по сечениям изогнутой балки примем две гипотезы: Первая - гипотеза плоских сечений. Сечения перпендикулярные оси балки до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными оси балки после ее нагружения. Вторая - гипотеза о не надавливании слоев. Продольные слои нагруженной балки не давят друг на друга. Основываясь на этих двух гипотезах, пренебрегаем всеми напряжениями в поперечном сечении, кроме напряжений действующих вдоль продольной оси балки - σ_{z}. Точки нагруженной балки пребывают в однородном напряженном состоянии и испытывают только нормальные напряжения направленные вдоль ее оси. Решения задачиРаспределение напряжений по сечению балки при изгибе 
Распределение напряжений по сечению балки при изгибе Рассмотрим кусок балки между двумя плоскими сечениями 1 и 2. До нагружения балка была прямой, после нагружения она изогнута. При этом ее верхние слои подвергаются растяжению, а нижние - сжатию. Зону растянутых слоев отделяет от зоны сжатых слоев нейтральный слой. Допустим кусок балки изогнут по дуге окружности. Вводим систему координат xyz. Тогда, согласно закону Гука для однородного напряженного состояния
$ σ_{z}=EƐ_{z} $ Где Ɛ_{z} - удлинение слоя, удаленного от нейтрального на расстояние y. Допустим, что расстояние между сечениями 1 и 2 бесконечно мало и равно dz. Тогда
$ Ɛ_{AB}=\lim\from{B→A}\frac{∆S}{S} $ В соответствии с гипотезой о плоских сечениях, после нагружения балки получаем, что эти сечения оставшись плоскими повернулись на какой-то угол и угол между ними стал dα. По гипотезе о не надавливании слоев напряжения поперек оси отсутствуют, поэтому расстояние y не изменилось после нагружения балки. Тогда
$ dz=dαρ=AB $ Где ρ - радиус кривизны нейтрального слоя И
$ A'B'=dα(ρ+y) $ Тогда, линейная деформация слоя «y» равна
$ Ɛ_{z}=\frac{A'B'-AB}{AB}=\frac{(ρ+y)dα-ρdα}{dαρ}=\frac{y}{ρ} $ И осевое (нормальное) напряжение в слое «y» равно
$ σ_{z}=EƐ_{z}=E\frac{y}{ρ} $ КомментарииЗная нормальное напряжение σ_{z} в любом отдельно взятом слое, можем вычислить внутренний изгибающий момент, действующий в каждом из сечений 
Распределение напряжений по сечению балки при изгибе Здесь y - главная центральная ось. Изгиб происходит в главной плоскости yz. Ось x проходит через нейтральный слой. Сила действующая на элементарную площадку dA равна
$ dN=σdA=E\frac{y}{ρ}dA $ Тогда
$ M_{x}=\int\from{Ф}ydN=\int\from{A}E\frac{y}{ρ}ydA=\frac{E}{ρ}\int\from{A}y^{2}dA=\frac{E}{ρ}J_{x} $ Откуда находим кривизну оси изогнутого стержня в каком-либо поперечном сечении
$ \frac{1}{ρ}=\frac{M_{x}}{EJ_{x}} $ Тогда
$ σ_{z}=Ey\frac{1}{ρ}=Ey\frac{M_{x}}{EJ_{x}}=\frac{M_{x}}{J_{x}}y $ Или
$ σ_{max}=\frac{M_{x}}{W_{x}} $ где W_{x} - момент сопротивления при изгибе Откуда
$ W_{x}=\frac{J_{x}}{y_{max}} $ Для расчетов необходимы максимальные по модулю напряжения, поэтому в поперечном сечении берется точка наиболее удаленная от нейтрального слоя. Тогда
$ N=0=\int\from{Ф}dN=\int\from{A}σdA=\int\from{A}\frac{M_{x}}{J_{x}}ydA=\frac{M_{x}}{J_{x}}\int\from{A}ydA=\frac{M_{x}}{J_{x}}S_{x} $ Где статический момент сечения относительно оси x равен
$ S_{x} = \int\from{A}ydA $ Анализируя данное уравнение, приходим к выводу
$ S_{x}=0=y_{C}A $ И тогда - ордината центра тяжести равна нулю, в принятой системе координат
$ y_{C}=0 $ Таким образом, при изгибе ось x проходит через центр тяжести поперечного сечения и является главной центральной осью, также ее называют осью изгиба. КомментарииРаспределение напряжений по сечению балки при изгибе Зная распределение нормальных напряжений по поперечному сечению балки, можно доказать, что прямой чистый изгиб возможен, только тогда когда плоскость внутреннего изгибающего момента совпадает совпадает с одной из главных центральных осей. То есть, совпадает с одной из главных плоскостей поперечного сечения. 
Распределение напряжений по сечению балки при изгибе Внутренний изгибающий момент действует в плоскости какой-то оси y. Этот изгибающий момент стремится изогнуть балку таким образом, чтобы нормальные напряжения в поперечном сечении распределялись по линейному закону.
$ M_{x}=M_{изг} $ Точки оси балки будут изгибаться в плоскости zy , только тогда когда
$ M_{y}=0=\int\from{Ф}xdN=\int\from{A}xσdA=\int\from{A}\frac{M_{x}}{J_{x}}xydA=\frac{M_{x}}{J_{x}}\int\from{A}xydA $ Где центробежный момент инерции
$ \int\from{A}xydA=J_{xy} $ Тогда
$ M_{y}=\frac{M_{x}}{J_{x}}J_{xy} $ Чтобы изгиб был прямым центробежный момент инерции приравниваем к нулю
$ J_{xy}=0 $ Данное равенство означает что оси x и y - это главные оси, пересекающиеся в центре тяжести поперечного сечения. Значит прямой чистый изгиб возможен, только тогда когда плоскость внутреннего изгибающего момента совпадает совпадает с одной из главных центральных осей. То есть, совпадает с одной из главных плоскостей поперечного сечения КомментарииЧтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь |
Записать новую задачу Все задачи Все темы Все инженеры |
Комментарии