Найти размеры поперечного сечения балки из условия прочности

Тема задачи: Сопротивление материалов Создано: @nick 16 сентября 2022 17:44

Найти размеры поперечного сечения балки из условия прочности. Если известны наибольший изгибающий момент равный 107,5 кН×м, что соотношение сторон таврового сечения h1=ℓ, b = 8ℓ и h = 8ℓ, b1=ℓ. Материал балки чугун [σ]р=20 МПа, [σ]сж=80 МПа.

Найти размеры поперечного сечения балки из условия прочности

Найти размеры поперечного сечения балки из условия прочности

Оцените сложность задачи:
0 голосов, средняя сложность: 0.0000

Решения задачи

Создано: @nick 16 сентября 2022 18:43
поставьте оценку:
0 голосов, средний бал: 0.0000

Найти размеры поперечного сечения балки из условия прочности. Если известны наибольший изгибающий момент равный 107,5 кН×м, что соотношение сторон таврового сечения h1=ℓ, b = 8ℓ и h = 8ℓ, b1=ℓ. Материал балки чугун [σ]р=20 МПа, [σ]сж=80 МПа.

Найти размеры поперечного сечения балки из условия прочности

Найти размеры поперечного сечения балки из условия прочности

Вычисляем статический момент сечения относительно оси XA

$ S_{X_{A}}=A_{1}y^{1}_{C}+A_{2}y^{2}_{C} $

$ y_{C} = \frac{S_{X_{A}}}{A}=\frac{S_{X_{A}}}{A_{1}+A_{2}}= $

Определим координаты центра тяжести таврового сечения относительно оси XA, проходящей по нижнему основанию сечения

$ =\frac{0,5ℓ×8ℓ^{2}+5ℓ×8ℓ^{2}}{16ℓ^{2}}=2,75ℓ $

Определим осевой момент инерции таврового сечения относительно оси xc:

$ J_{x_{C}} = J^{1}_{x}+J^{2}_{x}= $

$ = \frac{bh_{1}^{3}}{12}+bh_{1}y_{C_{1}^{2}}+\frac{b_{1}h^{3}}{12}+hb_{1}y_{C_{2}^{2} $

$ y_{C_{1}}=(2,75-0,5)ℓ =2,25ℓ; y_{C_{2}}=(5-2,75)ℓ =2,25ℓ $

$ J_{x_{C}}= \frac{8ℓ×ℓ^{3}}{12}+8ℓ^{2}(2,25ℓ)^{2}}+\frac{ℓ×(8ℓ)^{3}}{12}+8ℓ^{2}(2,25ℓ)^{2}=124,3ℓ^{4} $

Рассмотрим условия прочности для волокон работающих на растяжение и сжатие

$ [σ] = \frac{maxM}{W_{x}}; W_{x} = \frac{J_{x}}{y_{max}} $

$ [σ]_{р} = \frac{maxM}{J_{x}}y^{1}_{max}=\frac{10^6*107,5}{124,3ℓ^{4}}2,75ℓ=\frac{2378319}{ℓ^{3}} $

$ ℓ >= (\frac{2378319}{[σ]_{р}})^{\frac{1}{3}}=(\frac{2378319}{20})^\frac{1}{3}=49,2 мм $

$ [σ]_{сж} = \frac{maxM}{J_{x}}y^{2}_{max}=\frac{10^6*107,5}{124,3ℓ^{4}}6,25ℓ=\frac{5405270}{ℓ^{3}} $

$ ℓ >= (\frac{5405270}{[σ]_{сж}})^{\frac{1}{3}}=(\frac{5405270}{80})^\frac{1}{3}=40,7 мм $

Принимаем ℓ = 5 см = 50 мм и указываем размеры сечения тавра на чертеже, строим для него эпюру нормальных напряжений.

Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь

Записать новую задачу Все задачи Все темы Все инженеры